\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{回顾最小作用量原理}
	\footnote{本文是朗道《力学》以及刘川《理论力学》的学习笔记。使用AI辅助}
	作用量是一段时间内系统Lagrange量关于时间的积分：
	\begin{equation} \label{eq_S}
		S = \int_{t_0}^{t_1} L \dd t
	\end{equation}
	最小作用量原理指出，物理规律应使系统的作用量$S$最小：
	\begin{equation}
		S = S_{min} 
	\end{equation}
	根据最小作用量原理，我们可以推导相应的动力学方程，即Euler-Lagrange 方程：
	\begin{equation}
		\dv{}{t} \pdv{L}{q'} = \pdv{L}{q}
	\end{equation}
	最小作用量原理的神奇之处在于，它的思路贯彻经典力学、电动力学、狭义相对论乃至量子力学问题，可靠性惊人。
	
	%同时，我们可以从Lagrange量中导出广义动量
	%\begin{equation}
	%p = \pdv{L}{q'}
	%\end{equation}
	%或者勒让德变换Lagrange量、得到Hamilton量
	%\begin{equation}
	%H = \sum_i p_i q_i -L
	%\end{equation}
	
	\section{相对论性自由粒子}
	我们简要从最小作用量原理的角度，论证相对论性自由粒子的能量与动量。
	本人觉得，这是推导相对论性自由粒子能量与动量最简洁的方式。
	
	\subsection{世界线} 
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.7]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above]{$t$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x$}; % x轴
				
				\draw (1,0) -- (5,2);
				\draw[<->] (2,0.5) -- (3,0.5) node[below]{$\dd x$};
				\draw[<->] (3,0.5) -- (3,1) node[right]{$\dd t$};
				\draw[<->] (2,0.5+0.2) -- (3,1+0.2) node[left, above]{$\dd s$};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{示意图：粒子$A$在时空图中的运动轨迹（由于没有画出度规，因此不是很严谨）}
	\end{figure}
	
	在狭义相对论中，我们不仅要考虑粒子在空间中的运动，还要考虑它在时间轴上的“运动”。
	在时空图上粒子的运动轨迹被称为\textbf{世界线}（非常中二的学术名词！）。
	一小段时间内，世界线的“长度”（类比于三维世界的路程）是：
	\begin{equation}
		\dd s =  \sqrt{(c \dd t)^2 - (\dd x)^2-(\dd y)^2-(\dd z)^2}
	\end{equation}
	不过，狭义相对论中时间轴和空间轴的性质仍不太一样，这让世界线的长度\textbf{不同于}我们熟悉的三维世界的欧几里得长度。
	具体来说，由于一种叫\textsl{度规}的神秘存在，我们不能简单地直接相加时间轴的“长度”和空间轴的长度，而是得差一个负号。
	根据不同的约定，这个负号可以加在时间“长度”或者空间长度上，但无论如何，它们总是相差一个负号。
	这也是为什么我们的$\dd s$不是直接的四项平方和，而是带有一个负号的“混合体”。
	
	\subsection{作用量与Lagrange量}
	我们直接给出自由粒子的作用量表达式，他正比于一段时间内粒子世界线的“长度”：
	\begin{equation}
		S = - mc \int \dd s= - mc \int \sqrt{(c \dd t)^2 - (\dd x)^2-(\dd y)^2-(\dd z)^2}
	\end{equation}
	其中 $m$是粒子的静止质量，$c$是光速，$\dd s$是一小段时间内粒子的\textsl{世界线}“长度”。
	$S$的这种构造方式似乎有一点\textsl{任性}，但是Landau花了大量篇幅论述为什么这么构造是合理的。
	我们进一步展开作用量的表达式：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			S &= - mc \int \sqrt{(c \dd t)^2 - (\dd x)^2-(\dd y)^2-(\dd z)^2}\\
			& = - mc \int \sqrt{(c \dd t)^2 - (v_x \dd t)^2-(v_y \dd t)^2-(v_z \dd t)^2} \\
			& = - mc \int \sqrt{c^2-v^2} \dd t \qquad v^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2\\
			& = - mc^2 \int \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} \dd t \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中，$v$是粒子的（平常）速度，$v_x$是粒子速度的$x$分量等。
	与 $S$ 的定义\formula{eq_S}对比，我们轻松得到相对论性自由粒子的Lagrange量：
	\begin{equation}
		L = -mc^2 \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} = -mc^2 \sqrt{1 - \frac{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}{c^2}}
	\end{equation}
	
	\subsection{动量}
	接下来，我们要导出相对论性动量。我们知道分析力学中，（广义）动量可直接由Lagrange量导出：
	\begin{equation}
		p = \pdv{L}{q'}
	\end{equation}
	因此根据链式法则，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			p_x &= \pdv{L}{v_x} = -mc^2 \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}{c^2}}} (-2\frac{v_x}{c^2} ) = \frac{m v_x}{\sqrt{1 - \frac{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}{c^2}}} \\
			p_y &= \frac{m v_y}{\sqrt{1 - \frac{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}{c^2}}} \\
			p_z &= \frac{m v_z}{\sqrt{1 - \frac{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}{c^2}}} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}	
	压缩为向量形式，
	\begin{equation} \label{eq_p}
		\bvec p = \frac{m \bvec v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
	\end{equation}	
	和我们在大学物理中得到了一样的结果。
	
	\subsection{能量}
	我们计算Hamilton量。这种情况下，Hamilton量对应自由粒子的相对论性能量。根据定义，
	\begin{equation}  \label{eq_H}
		\begin{aligned}
			H &= \sum_i p_i q_i' -L\\
			&= \frac{m v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} + mc^2 \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} \\
			&=\frac{m v^2 + mc^2 (1 - (\frac{v}{c})^2)}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\\
			&=  \frac{mc^2 }{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\
		\end{aligned}	
	\end{equation}
	
	\subsection{质量-能量-动量关系}
	此外，我们还有一个很有趣，也很重要的小结论：
	对Hamilton量\formula{eq_H}取平方：
	\begin{equation}
		H^2 = \frac{m^2c^4 }{1 - \frac{v^2}{c^2}} =\frac{m^2 c^6 }{c^2 - v^2}  \\
	\end{equation}
	对动量\formula{eq_p}也取平方，再乘以$c^2$:
	\begin{equation}
		p^2 c^2 =  \frac{m^2  v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} c^2= \frac{m^2  v^2 c^4}{c^2 - v^2}
	\end{equation}
	两式相减：
	\begin{equation}
		H^2 - p^2 c^2 =  \frac{m^2 c^6 }{c^2 - v^2}  -  \frac{m^2  v^2 c^4}{c^2 - v^2} = \frac{m^2 c^4(c^2 - v^2)}{c^2 - v^2} = m^2 c^4
	\end{equation}	
	一般而言，我们此处使用$E$代表相对论能量，以及$m_0$强调$m$是粒子的静止质量，
	那么我们就得到了著名的质量-能量-动量关系：
	\begin{equation}
		E^2 - p^2 c^2 = m_0^2 c^4
		\qquad
		E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 
	\end{equation}	
	至此，我们展示了如何从最小作用量原理论证相对论性自由粒子的基本物理量及其联系。
	
	\newpage
	
	
	\section{相对论与经典力学的联系}
	
	在低速情况下（即$v \to 0$），相对论的动量和能量表达式应当类似于经典力学的相应公式。
	这种联系不仅体现了相对论对经典力学的兼容性，也揭示了经典力学是相对论动力学在宏观低速情况下的近似。
	
	\subsection{动量}
	当$v \ll c$时，相对论动量简化为：
	\begin{equation}
		\bvec p = \frac{m \bvec v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
		\approx m \bvec v \left(1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 \right) \approx m \bvec v
	\end{equation}
	忽略二阶及以上的小量后，相对论动量退化为经典动量$\bvec p = m \bvec v$。这表明，在低速情况下，相对论动量与经典动量一致。
	
	\subsection{能量}
	当$v \ll c$时，相对论能量简化为：
	\begin{equation}
		H = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
		\approx mc^2 \left(1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 \right) = mc^2 + \frac{1}{2} m v^2
	\end{equation}
	与经典力学的Hamilton量$H = T + V = \frac{1}{2} m v^2$（自由粒子无势能）相比，
	相对论Hamilton量多出了一项$mc^2$，即粒子的静质量能量。
	这一项是一个常数，不会影响经典力学的Hamilton方程的形式：
	$
		\left \{
		\begin{aligned}
			\dv{q}{t} &= \pdv{H}{p} \\ 
			\dv{p}{t} &= -\pdv{H}{q} \\ 
		\end{aligned}
		\right.
	$。
	因此，在经典力学中，静质量能量$mc^2$通常被忽略。
	
	\subsection{质量-能量-动量关系}
	同理，相对论中的质量-能量-动量关系简化为：
	\begin{equation}
		H = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2} = c \sqrt{m^2 c^2 + p^2}
		\approx c \left(\sqrt{m^2 c^2} + \frac{1}{2 \sqrt{m^2 c^2}} p^2 \right) = mc^2 + \frac{p^2}{2m}
	\end{equation}
	除了静能$mc^2$项外，这一表达式退化为经典的能量-动量关系$H = \frac{p^2}{2m}$。
		
\end{document}
